Антон Кукушкин родился в семье математиков, с детства увлекался точными науками и готовился поступать в Московский Государственный Университет. В 1993 году стал студентом мехмата МГУ имени М.В. Ломоносова, а на 3 курсе познакомился со студенческим театром при ДК университета. Первым его сольным номером на сцене стал «Свист под фортепьяно» — зал гремел овациями.

В 1998 году по совету коллеги по сцене Алексея Кортнева Антон поступил в Высшее театральное училище им. Щукина, а через год окончил мехмат МГУ. Сразу после окончания училища он стал лауреатом Всероссийского конкурса чтецов имени Я. М. Смоленского, а Александр Ширвиндт пригласил его в труппу Театра Сатиры. Среди его работ — роль Нелькина в спектакле «Свадьба Кречинского», романтик Бобби Франклин в «Слишком женатом таксисте», молодой артист в «Нам все еще смешно...», Сергей Гранкин в «Хомо Эректусе» и наивный Люсьен в постановке «Ждать?!». В 2008 году Антон Кукушкин появился на сцене театра «Модернъ» в роли Люсьена в спектакле «Однажды в Париже».

С 2010 года Антон Кукушкин сотрудничает с театром «Практика». Первой его работой стала роль в спектакле «Урод», позднее актер принял участие в проекте «Человек.doc» о героях современной культуры. Антон Кукушкин играет радикального современного художника Олега Кулика. Театральный сезон 2020 года стал юбилейным для спектакля «Человек.doc. Олег Кулик».